导数与积分
SXqwq
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2025-01-25 22:04:39
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学习·文化课
26min
重要极限
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n^x}=0(x>0)
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0)
Proof. \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=e^{\ln a^{\frac{1}{n}}}=e^{\frac{\ln a}{n}}，当 n\rightarrow +\infty 时，\dfrac{\ln a}{n}\rightarrow 0，继而得 e^{\ln a}\rightarrow 1.
连续性
函数 f(x) 在定义域内一点 x_0 处连续条件: \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)=f(\lim\limits_{n\rightarrow x_0}x).
导数与导函数
f(x)$ 在定义域内一点 $x_0$ 处的导数：$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)
显然等价于 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
即 f(x) 在 x_0 处的瞬时变化率.
导函数：f(x) 在其定义域 \text{D} 内任意一点 x_0 处都可导，得导函数，记作 f'(x).
导函数是整体性质，导数是局部性质，描述了一个点.
求导方法
定义
四则运算
基本初等函数导数
复合函数求导（链式法则）
例如，对 x^x 求导，它不属于基本初等函数，将其转化为 e^{x\ln x}，将其变为中间变量.
根据链式法则，\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}(x\ln x)'=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1).
定积分
定义：函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上的定积分是极限值 \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{b-a}{n}f(a+i\dfrac{b-a}{n})，即将区间 [a,b] 分为 n 段，[a,b]=[a,a+\dfrac{b-a}{n}]\cup[a+\dfrac{b-a}{n},a+2\dfrac{b-a}{n}]\dots[a+(n-1)\dfrac{b-a}{n},a+n\dfrac{b-a}{n}].
总结一下
\int_a^bf(x)d_x=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{b-a}{n}f(a+i\dfrac{b-a}{n})
这就是 f(x) 在 [a,b] 上的定积分.
求定积分定义是很不好用的，下面给出几种算法.
几何意义法
微积分学基本定理：令 F(x)'=f(x)，则有
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
导数应用
单调区间（极值，最值，值域，不等式）
递增区间对应导数是正数，递减区间对应导数是负数.
用切线和弦线可建立函数不等式.
判断凹凸性. 计算二阶导数 f''(x)，若其大于 0，则为下凸，反之为上凸.
函数零点存在条件，论证零点的性质（不等式）.
极值点存在的参数条件. （性质？）
恒成立问题的参数条件.
极值点偏离不等式.
函数性质分析.
和式型不等式.
函数方程.
热点不等式
对数不等式
\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x,\forall x\in(-1,+\infty)
贝努力不等式
\forall x\in[-1,+\infty]
当 0 当 a<0\text{或}a>1 时，(1+x)^a\ge 1+ax. 对数平均不等式 $$\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}$$ **Proof.** 我们以证明右边为例，不妨设 $0 继而得 $$\ln\dfrac{a}{b}>2\cdot\dfrac{a-b}{a+b}$$ 显然等价于 $$\ln\dfrac{a}{b}>2\cdot\dfrac{\dfrac{a}{b}-1}{\dfrac{a}{b}+1}$$ 令 $\dfrac{a}{b}=t$，也就是 $$\ln t>2\cdot\dfrac{t-1}{t+1}$$ 构造函数 $f(x)=\ln x-2\cdot\dfrac{x-1}{x+1},x\in(0,1)$. 对 $f(x)$ 求导 $$f'(x)=\dfrac{1}{x}-2\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}$$ $$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{(x+1)^2}$$ $$=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}$$ 显然 $f'(x)>0$，继而得 $f(x)$ 为增函数. 又因为当 $x=1$ 时，$f(x)=0,\dfrac{a}{b}>1$，所以当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)>0$，证毕.